Question

16．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）画出函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的图象．

Answer 1

分析 （1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）“五点画法”列表，描点，连线．

解答 解：函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2sin（x-$\frac{π}{4}$）sin（x+$\frac{π}{4}$）．
化简得：$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，
函数的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}$=π，
由正弦函数图象及性质可知：$2x-\frac{π}{6}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]（k∈Z）是单调增区间，
即$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}⇒kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，
故函数f（x）的增区间为：$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]（k∈Z）$．
（2）列表得：

x	$-\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
$2x-\frac{π}{6}$	$-\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$
y	-1	0	1	0	-1

描图：

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，会利用五点画法描图，属于中档题．