Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n能取到最大值，且满足：a₁₀+a₁₁＜0，a₁₀•a₁₁＜0对于以下几个结论：
①数列{a_n}是递减数列；    
②数列{S_n}是递减数列；
③数列{S_n}的最大项是S₁₀； 
④数列{S_n}的最小的正数是S₁₉．
其中正确的序号是①③④．

Answer 1

分析 直接由等差数列的通项公式和等差数列的性质逐一判断得答案．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和S_n能取到最大值，
∴数列{a_n}是递减数列，且d＜0，故①正确；
${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}=\frac{d}{2}{n}^{2}+（{a}_{1}-\frac{d}{2}）n$，∵d＜0，∴数列{S_n}先增后减，故②错误；
由a₁₀+a₁₁＜0，a₁₀•a₁₁＜0，得a₁₀＞0，a₁₁＜0，
∴数列{S_n}的最大项是S₁₀，故③正确；
由S₁₉=19a₁₀＞0，${S}_{20}=\frac{（{a}_{10}+{a}_{11}）20}{2}＜0$，得数列{S_n}的最小的正数是S₁₉，故④正确．
∴正确的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是中档题．