Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，若2S_n=a_n+

1

an

（n∈N^*），则S₂₀₁₄=（　　）

• A、2014+

  2014

  2014

• B、2014-

  2014

  2014

• C、2014
• D、

  2014

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件利用递推思想分别求出a₁，a₂，a₃，由此猜想an=

n

-

n-1

，从而能求出S₂₀₁₄．

解答：解：∵2S_n=a_n+

1

an

（n∈N^*），
∴S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），
当n=1时，a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，解得a₁=1，
当n=2时，a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)），解得a2=

2

-1（a_n＞0），
当n=3时，a₁+a₂+a₃=

1

2

(a3+

1

a3

)），解得a₃=

3

-

2

（a_n＞0），
猜想：an=

n

-

n-1

．
∴S₂₀₁₄=a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₄
=1+

2

-1+

3

-

2

+…+

2014

-

2013

=

2014

．
故选：D．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意递推思想和裂项求和法的合理运用．