Question

已知函数，其中.

（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）若上存在最大值和最小值，求的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）当时在单调递增，在单调递减，当时

的单调增区间是，；单调减区间是

当时的单调增区间是，；单调减区间是

（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）首先求导数，然后根据参数取值的不确定性，对其进行分类讨论求解，分类讨论不要出现遗漏，不要出现重复现象，求单调性列表；（3）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.

试题解析：（1）【解析】
当时，，. 2分

由， 得曲线在原点处的切线方程是 3分

（2）【解析】
. 4分

①当时，．

所以在单调递增，在单调递减. 5分

当，．

②当时，令，得，，与的情况如下：

	↘		↗		↘

 

故的单调减区间是，；单调增区间是. 7分

③当时，与的情况如下：

	↗		↘		↗

 

所以的单调增区间是，；单调减区间是 9分

（3）【解析】
由（2）得， 时不合题意. 10分

当时，由（2）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值．

设为的零点，易知，且．从而时，；时，．

若在上存在最小值，必有，解得．

所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是． 12分

当时，由（2）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值．

若在上存在最大值，必有，解得，或．

所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．

综上，的取值范围是. 14分

考点：1、求曲线的切线方程；2、利用导数求函数的单调区间；3、利用导数求函数的最值.