Question

设函数f（x）的定义域为D，若任取x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，满足

f(x1)+f(x2)

2

=C，则称C为函数y=f（x）在D上的均值，给出下列五个函数：①y=x；②y=x²；③y=4sinx；④y=lgx；⑤y=2^x．则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为

 

．

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据定义分别验证对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函数即可．

解答： 解：首先分析题目求对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函数．
①y=x，f（x₁）+f（x₂）=4得 x₁+x₂=4，解得x₂=4-x₁，满足唯一性，故成立．
②y=x²，由 f（x₁）+f（x₂）=4得 x₁²+x₂²=4，此时x₂=±

4-x12

，x₂有两个值，不满足唯一性，故不满足条件．
③y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故不满足条件
④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立．
⑤y=2^x定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，则f（x₂）=-4，不成立．
故答案为：①④．

点评：本题主要考查新定义的应用，考查学生的推理和判断能力．综合性较强．