题目内容
20．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$），半径r=1．（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若α∈[0，$\frac{π}{3}$]，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），点P的直角坐标为（2，2），直线l交圆C于A，B两点，求$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}$的最小值．
分析 （1）由圆C的圆心C（$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$）化为C（1，1），半径r=1，可得方程：（x-1）2+（y-1）2=1，再利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为极坐标方程；
（2）把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆的方程可得：t2+（2cosα+2sinα）t+1=0，利用$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}$=$\frac{{t}_{1}{t}_{2}}{-（{t}_{1}+{t}_{2}）}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，及其三角函数的单调性即可得出．
解答 解：（1）由圆C的圆心C（$\sqrt{2}，\frac{π}{4}$）化为C（1，1），半径r=1，可得方程：（x-1）2+（y-1）2=1，化为x2+y2-2x-2y+1=0．
∴ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0．
（2）把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆的方程可得：t2+（2cosα+2sinα）t+1=0，
∴t1+t2=-（2cosα+2sinα），t1t2=1．
∵点P的直角坐标为（2，2）在圆的外部．
∴$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}$=$\frac{{t}_{1}{t}_{2}}{-（{t}_{1}+{t}_{2}）}$=$\frac{1}{2cosα+2sinα}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
∵α∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴$sin（α+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$．
∴当α=0时，$\frac{{|{PA}|•|{PB}|}}{{|{PA}|+|{PB}|}}$的最小值为$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查了把圆的极坐标化为直角坐标、直线参数方程的应用、三角函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
全优考典单元检测卷及归类总复习系列答案
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点，BC=CC1=4，AB=10，CD=3．