Question

11．在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），在以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C₁上的点M（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{6}$，射线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C₂交于点D（1，$\frac{π}{3}$）．
（1）求曲线C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）若点A（ρ₁，θ），Β（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）都在曲线C₁上，求$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}+{ρ}_{2}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）将M（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{6}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$消去参数φ可得曲线C₁的直角坐标方程；设圆C₂的方程为（x-R）²+y²=R²．可得D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），代入可得R=1，可得C₂的直角坐标方程；
（2）可得AB的直角坐标，代入C1的方程可得θ的式子，代入$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}+{ρ}_{2}^{2}}$由三角函数公式可得．

解答 解：（1）将M（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{6}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=acos\frac{π}{6}}\\{\frac{1}{2}=bsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=1，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$，消去参数φ可得曲线C₁的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
设圆C₂的半径为R，由题意圆C₂的方程为（x-R）²+y²=R²．
由D的极坐标 （1，$\frac{π}{3}$），得D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），代入（x-R）²+y²=R²，解得R=1，
∴曲线C₂的方程为（x-1）²+y²=1．
（2）∵A（ρ₁，θ），Β（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）都在曲线C₁上，
又点A的直角坐标为（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），
点B的横坐标为ρ₂cos（θ+$\frac{π}{2}$）=-ρ₂sinθ，
点B的纵坐标为ρ₂sin（θ+$\frac{π}{2}$）=ρ₂cosθ，
∴$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}+{{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ=1$，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}θ}{4}+{{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}θ=1$，
∴$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}+{ρ}_{2}^{2}}$=（$\frac{co{s}^{2}θ}{4}+si{n}^{2}θ$）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{4}+co{s}^{2}θ$）=$\frac{5}{4}$

点评 本题考查参数方程和极坐标方程，化为普通方程是解决问题的关键，属中档题．