Question

已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面边长为8，对角线B₁C＝10，D为AC的中点．

(1)求证AB₁∥平面C₁BD；

(2)求直线AB₁到平面C₁BD的距离．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)设B1C∩BC1＝O． 　　连DO，则O是B1C的中点． 　　在△ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点． 　　∴DO∥AB1， 　　又DO平面C1BD，AB1平面C1BD， 　　∴AB1∥平面C1BD． 　　解：(2)由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC中点， 　　∴BD⊥AC，且BD⊥CC1， 　　∴BD⊥平面AC1， 　　平面C1BD⊥平面AC1，C1D是交线． 　　在平面AC1内作AH⊥C1D，垂足是H， 　　∴AH⊥平面C1BD， 　　又AB1∥平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离． 　　由BC＝8，B1C＝10，得CC1＝6， 　　在Rt△C1DC中，DC＝4，CC1＝6， 　　 　　在Rt△DAH中，∠ADH＝∠C1DC 　　∴． 　　即AB1到平面C1BD的距离是． 　　评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1∥平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．