Question

14．设f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_2}x，}&{x＞0}\\{{2^x}，}&{x≤0}\end{array}}$，则$f（f（\frac{1}{2}））$的值为$\frac{1}{2}$，不等式f（x）＞$\frac{1}{2}$的解集为$（-1，0]∪（\sqrt{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式进行求解即可．

解答 解：由分段函数的表达式得f（$\frac{1}{2}$）=log${\;}_{2}\frac{1}{2}$=-1，
则f（-1）=2^-1=$\frac{1}{2}$，故$f（f（\frac{1}{2}））$=$\frac{1}{2}$，
若x＞0，由f（x）＞$\frac{1}{2}$得log₂x＞$\frac{1}{2}$，则x＞${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
若x＜0，由f（x）＞$\frac{1}{2}$得2^x＞$\frac{1}{2}$，则x＞-1，此时-1＜x＜0，
综上不等式的解为-1＜x＜0或x＞$\sqrt{2}$，
故答案为：（-1，0）∪（$\sqrt{2}$，+∞）

点评 本题主要考查分段函数的应用，注意要进行分类讨论．