Question

13．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^{2}-1，x＜-1}\\{0，-1≤x≤0}\\{\;}\end{array}\right.$，则函数y=f（x-1）-$\frac{1}{2}$（x-1）的零点个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由已知函数解析式求出y=f（x-1）的解析式，结合函数f（x）为奇函数，作出函数图象，数形结合可得函数$y=f（x-1）-\frac{1}{2}（x-1）$的零点个数．

解答 解：由$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x+2）^{2}-1，x＜-1}\\{0，-1≤x≤0}\end{array}\right.$，得
$f（x-1）=\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}-1，x＜0}\\{0，0≤x≤1}\end{array}\right.$，
函数$y=f（x-1）-\frac{1}{2}（x-1）$的零点，即方程f（x-1）-$\frac{1}{2}（x-1）$的根，
也就是函数y=f（x-1）与y=$\frac{1}{2}（x-1）$交点的横坐标，
结合函数f（x）为实数集上的奇函数，作出图象如图：

由图可知，函数$y=f（x-1）-\frac{1}{2}（x-1）$的零点个数5个．
故选：D．

点评 本题考查函数零点判定定理，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．