Question

1．已知实数x，y满足x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y=0，则$\frac{y+\sqrt{3}}{x-1}$的最大值是$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合$\frac{y+\sqrt{3}}{x-1}$的几何意义，即定点M（1，-$\sqrt{3}$）与圆$（x+1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4$上的动点连线的斜率求得答案．

解答 解：由x²+y²+2x-2$\sqrt{3}$y=0，得$（x+1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4$，
作出图象如图，

$\frac{y+\sqrt{3}}{x-1}$的几何意义为定点M（1，-$\sqrt{3}$）与圆$（x+1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=4$上的动点连线的斜率，
当切线斜率不存在时，切线方程为x=1；
当切线斜率存在时，设过M的圆的切线方程为y+$\sqrt{3}=k（x-1）$，即kx-y-k-$\sqrt{3}=0$．
由$\frac{|-k-\sqrt{3}-k-\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{y+\sqrt{3}}{x-1}$的最大值是$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了切线方程的求法，是中档题．