Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线被椭圆和圆截得的弦长分别为2和.

（1）求的标准方程；

（2）已知动直线与抛物线：相切（切点异于原点），且与椭圆相交于，两点，问：椭圆上是否存在点，使得，若存在求出满足条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，点坐标为或

【解析】

（1）（1）设直线方程为，分别与椭圆方程，圆联立解得交点坐标，再根据弦长分别为2和.求解.

（2）设：，，，，与抛物线方程联立，根据与相切，则，与椭圆方程联立，由结合韦达定理得到Q坐标代入椭圆方程求解.

（1）设直线方程为，与椭圆方程联立解得，

所以，

直线方程为，与圆联立解得，

所以，

解得，

故：.

（2）由题知存在且斜率不为0，设：，，，，

联立，得，

因为与相切，故，

联立，得，

所以，，

，

又，

所以.

因为，

所以，

由韦达定理，代入计算得，

因为点在椭圆上，即，

代入得，即，，

解得或（舍），

所以，此时点坐标为或.