Question

【题目】已知函数，其中，设为导函数.

（Ⅰ）设，若恒成立，求的范围；

（Ⅱ）设函数的零点为，函数的极小值点为，当时，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（I）计算的导函数，计算最小值，结合恒不等式，建立不等关系，计算a的范围，即可。（II）构造函数，判定极小值点，进而得到的单调性，得到

，结合单调性，即可。

（Ⅰ）由题设知，，

，.

当时，，在区间上单调递减，

当时，，在区间上单调递增，

故在处取到最小值，且.

由于恒成立，所以.

（Ⅱ）设，则.

设，则，

故在上单调递增.

因为，所以，,

故存在，使得，

则在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故是的极小值点，因此.

由（Ⅰ）可知，当时，.

因此 ，即单调递增.

由于，即，即，

所以 .

又由（Ⅰ）可知，在单调递增，因此.