Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点.

(1)求证：；

(2)设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可推出结论成立；

（2）为线段上的动点，连接，，根据题意得到，由（1）得，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式，即可得出结果.

(1)∵四边形为菱形，，

∴为正三角形.

又为的中点，∴.

∵，∴.

∵平面，平面，

∴.

∵平面，平面，且，

∴平面，

又平面，∴；

(2)如图，为线段上的动点，连接，.

当线段的长最小时，.

由(1)知，∵，

∴平面.

∵平面，∴.

在中，，，，

∴，

在中，由，，可知，即.

∴在中，可得.

由(1)可知，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由，分别是，的中点，可得，，，，，，，

所以，.

设平面的法向量为，

则，因此，

取，得.

因为，，，

所以平面，

故为平面的一个法向量.

又，

所以.

由图易知二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.