Question

【题目】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，椭圆的左、右顶点分别为，是椭圆上一点，记直线的斜率为、，且有.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线与椭圆相交于不同两点和，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据抛物线的焦点可得，由，设根据，即可求出，，从而得到椭圆方程；

（2）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元由根的判别式大于零得到，设可得由得，可得，即可得到，从而得解；

解：（1）依题意， 抛物线的焦点为，则，且

，设，则有，即

，

，

即椭圆的方程为.

（2）由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为.

由消去，得

设，则是方程（*）的两根，

所以，即①

且

由得，当时满足题意；

当时，

由点在椭圆上，则，

即，

再由①和，得

综上：

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