Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图所示，则

b+1

a+2

的取值范围是（　　）

• A、（-

  3

  2

  ，

  1

  2

  ）
• B、（-

  2

  5

  ，

  1

  2

  ）
• C、（-

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）
• D、（-

  3

  2

  ，

  5

  2

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：由图象可知：经过原点，可得f（0）=0=d，即f（x）=ax³+bx²+cx．．由图象可得：函数f（x）在[-1，1]上单调递减，函数f（x）在x=-1处取得极大值．可得f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．利用且f′（1）＜0，f′（2）＞0即可得到b＜0，3a+2b＞0，设k=

b+1

a+2

，则k=

b-(-1)

a-(-2)

，求k的最值，进而得出结论．

解答：解：由图象可知：经过原点，∴f（0）=0=d，
∴f（x）=ax³+bx²+cx．
由图象可得：函数f（x）在[-1，1]上单调递减，函数f（x）在x=-1处取得极大值．
∴f′（x）=3ax²+2bx+c≤0在[-1，1]上恒成立，且f′（-1）=0．
得到3a-2b+c=0，即c=2b-3a，
∵f′（1）=3a+2b+c＜0，
∴4b＜0，即b＜0，
∵f′（2）=12a+4b+c＞0，
∴3a+2b＞0，
设k=

b+1

a+2

，则k=

b-(-1)

a-(-2)

，
建立如图所示的坐标系，则点A（-1，-2），
则k=

b+1

a+2

式中变量a、b满足下列条件

3a+2b＞0 b＜0

，
作出可行域如图：

∴k的最大值就是k_AB=

1

2

，k的最小值就是k_CD，而k_CD就是直线3a+2b=0的斜率，k_CD=-

3

2

，
∴-

3

2

＜k＜

1

2

．
∴故选A．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性极值、数形结合等基础知识与基本方法．