Question

如图，棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，四边形AA₁C₁C也为菱形

且∠A₁AC=∠DAB=60^o，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD.（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；

（Ⅱ）证明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁；

（Ⅲ）在棱CC₁上是否存在点P，使得平面PDA₁和平面DA₁C₁所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：连接BD，∵平面ABCD为菱形，

∴BD⊥AC，由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，

且交线为AC，则BD⊥平面AA₁C₁C，

又A₁A⊂平面AA₁C₁C，

故BD⊥AA₁.   

（Ⅱ）证明：由棱柱的性质

 

知四边形AB₁C₁D为平行四边形 

 ∴AB₁∥DC₁，∵AB₁在平面DA₁C₁外，DC₁平面DA₁C₁

∴AB₁∥平面DA₁C₁     …

同理B₁C∥平面DA₁C₁…

AB₁∩B₁C＝B₁， ∴平面AB₁C∥平面DA₁C₁.

（Ⅲ）设AC交BD于O，连接A₁O，   ∵菱形AA₁C₁C且∠A₁AC =60^o，

∴正三角形A₁AC ，且O为AC中点，  ∴A₁O⊥AC 

又平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC

 ∴A₁O⊥平面ABCD，又BD⊥AC，

如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设OB=1  

则，，

，

，    ，

设则

设平面DA₁C₁和平面PDA₁ 的的法向量

分别为

，

取

取  

（舍去）   

当P为CC₁的中点时，平面PDA₁和平面DA₁C₁所成的锐二面角的余弦值为．