Question

9．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BN}$，则λ+μ=$\frac{8}{5}$ ．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BN}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$．由于$\overrightarrow{AC}$$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BN}$=μ（$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$）+λ（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，利用平面向量基本定理，建立方程，求出λ，μ，即可得出结论．

解答 解：设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BN}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$．
由于$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AM}$+μ$\overrightarrow{BN}$=μ（$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$）+λ（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
∴λ+$\frac{1}{2}$μ=1，且-$\frac{1}{2}$λ+μ=1，解得 λ=$\frac{2}{5}$，μ=$\frac{6}{5}$，
∴λ+μ=$\frac{8}{5}$，
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查平面向量基本定理的运用，考查向量的加法运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题，