△OPQ中.|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$|=|$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$|=4．(1)求△OPQ面积的最大值,(2)若点M满足$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{QM}$.问:|$\overrightarrow{OM}$|是否有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．△OPQ中，|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$|=|$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$|=4．
（1）求△OPQ面积的最大值；
（2）若点M满足$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{QM}$，问：|$\overrightarrow{OM}$|是否有最大值？若有，求出最大值；若没有．

分析（1）根据向量的几何意义可得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，再根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出最值．
（2）根据向量的几何意义可得|$\overrightarrow{OM}$|=$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$|=$\frac{1}{4}$×4=1，故值为常数．

解答解：（1）|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$|=|$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$|=4
∴$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OP•OQ≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{OP+OQ}{2}$）²=$\frac{1}{2}$×$\frac{（OP+OQ）^{2}}{4}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{4}$=2，
（2）∵$\overrightarrow{QP}$=4$\overrightarrow{QM}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{QP}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$），
∴|$\overrightarrow{OM}$|=$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OQ}$|=$\frac{1}{4}$×4=1，
∴|$\overrightarrow{OM}$|的值是常数，无最大值．

点评本题考查了向量的几何意义和三角形的面积公式和基本不等式，属于中档题．

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