Question

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准?用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量（单位：t），制作了频率分布直方图，
（Ⅰ）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；
（Ⅱ）用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准&则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；
（Ⅲ）若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量（看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）1-（0.1+0.2+0.3+0.6+0.3+0.1）×0.5=0.2，

0.2

0.5

=0.4得出频率分布直方图；
（Ⅱ）月均用水量的最低标准定为2.5吨．样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，用样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准定为2.5吨．
（Ⅲ）以题意可知，月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率为

4

5

，X～B（3，

4

5

），列出分布列，利用二项分布的期望公式求出期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵1-（0.1+0.2+0.3+0.6+0.3+0.1）×0.5=0.2，

0.2

0.5

=0.4，
∴频率分布直方图
…（3分）
（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨．样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨．…（6分）
（Ⅲ）依题意可知，居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是

4

5

，则X～B（3，

4

5

），
P（X=0）=(

1

5

)3=

1

125

，P（X=1）=

C

1 3

•

4

5

•(

1

5

)2=

12

125

，P（X=2）=

C

2 3

•(

4

5

)2•

1

5

=

48

125

，P（X=3）=(

4

5

)3=

64

125

，…（8分）
分布列为

X	0	1	2	3
P	1 125	12 125	48 125	64 125

…（10分）
E（X）=3×

4

5

=

12

5

…（12分）

点评：本题考查随机变量的分布列及期望，考查学生的计算能力．用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=频率，各个矩形面积之和等于1，