Question

15．函数 f（x）=e^x+a，g（x）=|ln（-x）|，若x₁，x₂都满足f（x）=g（x），则（　　）

• A． x₁•x₂＞e
• B． 1＜x₁•x₂＜e
• C． 0＜x₁x₂＜$\frac{1}{e}$
• D． $\frac{1}{e}＜{x_1}{x_2}$＜1

Answer 1

分析 根据题意，得出函数f（x）与g（x）在定义域（-∞，0）上有两个交点（x₁，0）和（x₂，0）；
画出图形，结合图形得出0＞x₁＞-1＞x₂，列出方程组$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}}+a=-ln（{-x}_{1}）}\\{{e}^{{x}_{2}}+a=ln（{-x}_{2}）}\end{array}\right.$，
从而得出ln（x₁x₂）=${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$；求出${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$的取值范围，即得x₁x₂的取值范围．

解答 解：∵f（x）=e^x+a，g（x）=|ln（-x）|=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x），x≤-1}\\{-ln（-x），-1＜x＜0}\end{array}\right.$，
且x₁，x₂都满足f（x）=g（x），
∴函数f（x）与g（x）在定义域（-∞，0）上有两个交点（x₁，0）和（x₂，0）；如图所示，

不妨设0＞x₁＞-1＞x₂，
则$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}}+a=-ln（{-x}_{1}）}\\{{e}^{{x}_{2}}+a=ln（{-x}_{2}）}\end{array}\right.$，
∴${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$=-ln（-x₁）-ln（-x₂）=-ln（x₁x₂），
即ln（x₁x₂）=${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$；
∵0＞x₁＞-1＞x₂，
∴-1＜${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$＜0，
即-1＜ln（x₁x₂）＜0，
∴$\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1．
故选：D．

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的解题思想，转化思想，是综合性题目．