Question

若函数f（x）=

1

3

x3-x在其定义域内的一个子区间（k，10-k²）内有最小值，可求得实数k的取值范围是[m，n），则mn=

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，进而求出函数的最小值，得不等式组，从而求出m，n的值．

解答： 解：∵f′（x）=x²-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（1），
∴

k＜1 10-k2＞1

，解得：-3＜k＜1，
∴m=-3，n=1，
∴mn=-3，
故答案为：-3．

点评：本题考查了函数的单调性问题，最值问题，考查了导数的应用，是一道中档题．