Question

18．设函数f（x）的定义域为（0，+∞）的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，则满足f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范围是（3，4]．

Answer 1

分析 令x=y=2，利用f（2）=1即可求得f（4）=2，得f[x（x-3）]≤f（4），再由单调性得到不等式组，解之即可．

解答 解：∵f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2；
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=2，
∴f（x）+f（x-3）≤2?f[x（x-3）]≤f（4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{{x}^{2}-3x≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{-1≤x≤4}\end{array}\right.$，
解得：3＜x≤4．
∴原不等式的解集为：（3，4]．
故答案为：（3，4]．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．