题目内容
7．求证：函数f（x）=x2+$\frac{2}{x}$在数集{x∈R|x＞1}上是增加的．分析 直接利用函数的单调性的定义，证明即可．
解答 证明：任取x2＞x1＞1，函数值作差得
$\begin{array}{l}f（{x_1}）-f（{x_2}）=（x_1^2+\frac{2}{x_1}）-（x_2^2+\frac{2}{x_2}）=（x_1^2-x_2^2）+（\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2}）\\=（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）+\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}（{x_1}+{x_2}）-2}}{{{x_1}{x_2}}}\end{array}$
因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，而x1x2＞1＞0，x1+x2＞2，
所以x1x2（x1+x2）-2＞0，于是f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函数$f（x）={x^2}+\frac{2}{x}$在数集{x∈R|x＞1}上是增加的．
点评 本题考查函数的单调性的证明，考查计算能力．
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15．
正方形ABCD的边长为2，（如图），线段MN=1，当点M、N在正方形ABCD的边上滑动一周（保持MN的长度不变）时，线段MN的中点P的轨迹围成一个封闭图形E，现向正方形中随机投入一点，则该点落在E内的概率是（ ）
正方形ABCD的边长为2，（如图），线段MN=1，当点M、N在正方形ABCD的边上滑动一周（保持MN的长度不变）时，线段MN的中点P的轨迹围成一个封闭图形E，现向正方形中随机投入一点，则该点落在E内的概率是（ ）| A． | $\frac{7}{8}$ | B． | $\frac{π}{16}$ | C． | $1-\frac{π}{16}$ | D． | $\frac{3}{4}+\frac{π}{16}$ |
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