Question

已知数列{a_n}中，a_n=2-

1

an-1

（n≥2），a₁=

3

5

，b_n=

1

an-1

（n∈N^*）
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}中的最大项和最小项，并说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的定义，进行证明；
（2）依题意有a_n-1=

1

n-3.5

，求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．

解答： （1）证明：b_n+1-b_n=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

1

2- 1 an -1

-

1

an-1

=1，
∵a₁=

3

5

，∴b₁=-

5

2

，
∴数列{b_n}是以-

5

2

为首项，1为公差的等差数列；
（2）解：依题意有a_n-1=

1

n-3.5

，
对于函数y=

1

x-3.5

，在x＞3.5时，y＞0，y′＜0，在（3.5，+∞）上为减函数．且y＞0，故当n=4时，a_n=

1

n-3.5

+1取最大值3．
而函数y=

1

x-3.5

，在x＜3.5时，y＜0，y′＜0，
在（-∞，3.5）上也为减函数．且y＜0，故当n=3时，取最小值，a₃=-1．
∴数列{a_n}中的最大项是a₄=3；最小项是a₃=-1

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查导数知识的运用，属于中档题．