Question

在如图所示的几何体中，四边形ABEF是长方形，DA⊥平面ABEF，BC∥AD，G，H分别为DF，CE的中点，且AD=AF=2BC．
（Ⅰ）求证：GH∥平面ABCD；
（Ⅱ）求三棱锥E-BCD与D-BEF的体积之比．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AD，BC的中点P，Q，连接GP，PQ，HQ，证明四边形GPQH是平行四边形，可得GH∥PQ，即可证明GH∥平面ABCD；
（Ⅱ）证明FA⊥平面ABCD，即可求三棱锥E-BCD与D-BEF的体积之比．

解答： （Ⅰ）证明：取AD，BC的中点P，Q，连接GP，PQ，HQ，则GP∥FA，GP=

1

2

FA
同理HQ∥BE，HQ=

1

2

BE，
∵ABEF是长方形，∴GP∥HQ，GP=HQ，
∴四边形GPQH是平行四边形，
∴GH∥PQ，
∵GH?平面ABCD，PQ?平面ABCD，
∴GH∥平面ABCD；
（Ⅱ）解：∵DA⊥平面ABEF，
∴DA⊥FA，
∵FA⊥AB，DA∩AB=A，
∴FA⊥平面ABCD，
∴V_E-BCD=

1

3

×

1

2

×BC×AB×AF，V_D-BEF=

1

3

×

1

2

×EF×BE×AD，
∵AD=AF=2BC，
∴V_E-BCD：V_D-BEF=1：2．

点评：本题考查线面平行的证明，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．