Question

3．已知△ABC的外心P满足$3\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，则cosA=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $-\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由$3\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，得$3\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AP}={\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，$3\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2}$
即$\frac{1}{2}{c}^{2}=bc•cosA$，$\frac{1}{2}{b}^{2}=bc•cosA$⇒b=c⇒cosA=$\frac{1}{2}$．

解答 解：∵△ABC的外心P满足$3\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，
∴$3\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AP}={\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，$3\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^{2}$，
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{c}^{2}，\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}{b}^{2}$
∴$\frac{1}{2}{c}^{2}=bc•cosA$，$\frac{1}{2}{b}^{2}=bc•cosA$⇒b=c⇒cosA=$\frac{1}{2}$．
故选：A

点评 本题考查了三角形外心定义，向量的数量积运算，属于中档题．