Question

正三角形ABC的边长为2

3

，将它沿高AD翻折，使二面角B-AD-C的大小为

π

3

，则四面体ABCD的外接球的体积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间角,球

分析：三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的体积即可．

解答： 解：根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，
则∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角，且为

π

3

，
则底面BCD是正三角形，
它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，
求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，
而且AD=

3

2

×2

3

=3，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面边长为

3

，
由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O，外接球的半径为r，
球心到底面的距离为

3

2

，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为：

2

3

×

3

2

×

3

=1，
∴球的半径为r=

( 3 2 )2+1

=

13

2

．
四面体ABCD外接球体积为：

4πr3

3

=

4π

3

×（

13

2

）³=

13 13 π

6

．
故答案为：

13 13 π

6

．

点评：本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．