题目内容
18．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1，x＞0\\-1，x＜0\end{array}\right.$，设$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}$，则g（x）是（ ）| A． | 奇函数，在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增 | |
| B． | 奇函数，在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递减 | |
| C． | 偶函数，在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增 | |
| D． | 偶函数，在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递减 |
分析 根据题意，写出函数g（x）的解析式，设x＞0，则-x＜0，分析可得g（-x）=-g（x），可得g（x）为奇函数；由x＞0时g（x）的解析式，对其求导可得g′（x）=-2•$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{-2}{{x}^{3}}$＜0，可得函数g（x）在区间（0，+∞）上递减，结合单调性可得其在（-∞，0）上也递减，综合可得答案．
解答 解：根据题意，$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}^{2}}，x＞0}\\{-\frac{1}{{x}^{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，
设x＞0，则-x＜0，g（-x）=-$\frac{1}{（-x）^{2}}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-g（x），故g（x）为奇函数；
当x＞0时，g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$=x-2，
g′（x）=-2•$\frac{1}{{x}^{3}}$=$\frac{-2}{{x}^{3}}$＜0，
即g（x）在区间（0，+∞）上递减，
又由函数g（x）为奇函数，则在（-∞，0）上也递减，
故选：B．
点评 本题考查函数的奇偶性单调性的判定，涉及分段函数的应用，关键是写出g（x）的解析式．
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| A． | （-1，0） | B． | $（-1，-\frac{1}{2}）$ | C． | $（-2，-\frac{1}{2}）$ | D． | （-2，+∞） |
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| A． | （-∞，4] | B． | （-∞，2] | C． | [-1，4] | D． | （-∞，-1] |