Question

5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：（x-2）²+y²=4，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅰ）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的极坐标系中，射线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C₁，C₂分别交于A，B两点，定点M（4，0），求△MAB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₁：（x-2）²+y²=4，展开可得：x²+y²-4x=0，把互化公式$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），消去参数θ可得：x²+（y-2）²=4，展开可得：x²+y²-4y=0，把互化公式代入即可得出．
（Ⅱ）M到射线$θ=\frac{π}{3}$的距离为d=4sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$．|AB|=|ρ_B-ρ_A|=|4$sin\frac{π}{3}$-4cos$\frac{π}{3}$|．可得S_△MAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d．

解答 （Ⅰ）解：曲线C₁：（x-2）²+y²=4，展开可得：x²+y²-4x=0，把互化公式$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），消去参数θ可得：x²+（y-2）²=4，展开可得：x²+y²-4y=0，把互化公式$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
（Ⅱ）M到射线$θ=\frac{π}{3}$的距离为d=4sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$．
|AB|=|ρ_B-ρ_A|=|4$sin\frac{π}{3}$-4cos$\frac{π}{3}$|=2$\sqrt{3}$-2．
则S_△MAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=6-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与曲线相交弦长问题、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．