Question

18．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在点P，使得csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁，则该曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． （1，$\sqrt{3}$]
• C． （1，$\sqrt{2}$+1]
• D． （1，$\sqrt{3}$+1]

Answer 1

分析 不防设点P（x，y）在右支曲线上，并注意到x≥a．利用正弦定理求得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{a}{c}$，进而根据双曲线定义表示出|PF₁|和|PF₂|代入，可求得e的范围．

解答 解：不妨设P（x，y）在右支曲线上，此时x≥a，
由正弦定理得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{a}{c}$，
∵双曲线第二定义得：|PF₁|=a+ex，|PF₂|=ex-a，
∴$\frac{ex-a}{ex+a}$=$\frac{a}{c}$，
∴x=$\frac{a（a+c）}{ec-ea}$≥a，
分子分母同时除以a，得：$\frac{a+c}{{e}^{2}-e}$≥a，
∴$\frac{1+e}{{e}^{2}-e}$≥1解得1≤e≤$\sqrt{2}$+1，又e＞1，
故选：C．

点评 本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合运用所学知识解决问题能力．