Question

2．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
Asin（ωx+φ）	0	5		-5	0

（Ⅰ）请在答题卡上将如表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{6}$个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据表中已知数据可得A，可求$\frac{π}{3}ω+φ=\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}ω+φ=\frac{3π}{2}$，解得ω，φ的值，即可求得函数解析式，即可补全数据．
（Ⅱ）由三角函数平移变换规律可求g（x）的函数解析式，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（Ⅰ）根据表中已知数据可得：A=5，$\frac{π}{3}ω+φ=\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}ω+φ=\frac{3π}{2}$，
解得$ω=2，φ=-\frac{π}{6}$．
数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{12}$
Asin（ωx+φ）	0	5	0	-5	0

且函数表达式为：f（x）=5sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=5sin（2x-\frac{π}{6}）$，
因此 $g（x）=5sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]=5sin（2x+\frac{π}{6}）$．
因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．
令$2x+\frac{π}{6}=kπ$，
解得：$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，k∈Z．
即y=g（x）图象的对称中心为：$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，0）$，k∈Z，
其中离原点O最近的对称中心为：$（-\frac{π}{12}，0）$．

点评 本题主要考查五点法作图以及三角函数的图象和性质，考查学生的运算能力和数形结合思想的应用，属于基础题．