Question

设二次方程，n∈N₊有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1
（1）试用a_n表示a_n+1；
（2）证明是等比数列；
（3）设，n∈N₊，T_n为{c_n}的前n项和，证明T_n＜2，（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知6α-2αβ+6β=3，故即6•-2=3，由此能用a_n表示a_n+1．
（2）由，n∈N₊．知a_n+1-=+=，由此能够证明是等比数列．
（3）由是以为首项，以为公比的等比数列，知=，推出c_n，由此利用错位相减法能够证明T_n＜2．
解答：解：（1）∵二次方程，n∈N₊有两根α和β，
且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1，
∴6α-2αβ+6β=3，
即6•-2=3，
∴，n∈N₊．
（2）∵，n∈N₊．
∴a_n+1-=+=，
且=，
∴是以为首项，以为公比的等比数列．
（3）∵是以为首项，以为公比的等比数列，
∴=，c_n=n•，
∴+…+（n-1）•]，
+…+（n-1）•+n•，
两式相减，得
=-n•（）ⁿ
T_n=--n•，
整理，得T_n＜2．
点评：本题考查数列的性质的综合运用，考查不等式的证明，综合性强，难度大，对数学思想的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．