题目内容

设二次方程 $数学公式$ ，n∈N₊有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1
（1）试用a_n表示a_n+1；　　　　　　
（2）证明 $数学公式$ 是等比数列；
（3）设 $数学公式$ ，n∈N₊，T_n为{c_n}的前n项和，证明： $数学公式$ （n∈N₊）．

（1）解：∵二次方程 $\text{[math]}$ ，n∈N₊有两根α和β，
∴由韦达定理得：α+β= $\text{[math]}$ ，α•β= $\text{[math]}$ ，
∵6α-2αβ+6β=3，a₁=1，
∴6• $\text{[math]}$ -2• $\text{[math]}$ =3，
∴a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+ $\text{[math]}$ ，n∈N₊；
（2）证明：∵a_n+1= $\text{[math]}$ a_n+ $\text{[math]}$ ，∴a_n+1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （a_n- $\text{[math]}$ ），
∵a₁=1，∴a₁- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列；
（3）证明：由（2）知，a_n- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴T_n= $\text{[math]}$ [1+2• $\text{[math]}$ +3•（ $\text{[math]}$ ）²+…+n•（ $\text{[math]}$ ）^n-1]，
∴ $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ [1• $\text{[math]}$ +2•（ $\text{[math]}$ ）²+3•（ $\text{[math]}$ ）³+…+（n-1）•（ $\text{[math]}$ ）^n-1+n•（ $\text{[math]}$ ）ⁿ]，
两式相减可得 $\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ [1+ $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）³+…+（ $\text{[math]}$ ）^n-1-n•（ $\text{[math]}$ ）ⁿ]
∴T_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）ⁿ- $\text{[math]}$ n•（ $\text{[math]}$ ）ⁿ⁺¹，
∴T_n＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得到结论；
（2）对（1）的结论两边同时减去 $\text{[math]}$ 整理即可证 $\text{[math]}$ 是等比数列；
（3）确定{c_n}的通项，由此利用错位相减法，即可证得结论．
点评：本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查，考查不等式的证明，综合性强，难度大．