题目内容
设二次方程
，n∈N+有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a1=1．（1）证明：
是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）设
，n∈N+，Tn为{cn}的前n项和，证明：Tn＜2，（n∈N+）．
【答案】分析：（1）6α-2αβ+6β=3，即
，可推出
，n∈N+，由此能证明
是等比数列，并能求出并求{an}的通项公式．
（2）由
，知
，由此利用错位相减法能证明：Tn＜2，（n∈N+）．
解答：解：（1）∵二次方程
，n∈N+有两根α和β，
且满足6α-2αβ+6β=3，a1=1．
∴
，
∴
，n∈N+
，且
∴
是以
为首项，公比为
的等比数列．
∴
，
故
．
（2）∵
，
，n∈N+，∴
，
Tn=1×
+2×（
）2+3×（
）3+…+n×（
）n，
=1×（
）2+2×（
）3+3×（
）4+…+n×（
）n+1，
两式相减，得
=
+（
）2+（
）3+…+（
）n-n×（
）n+1
=1-（
）n-n•（
）n+1，
∴Tn=2-
-n•
＜2．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的证明，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
，可推出，n∈N+，由此能证明是等比数列，并能求出并求{an}的通项公式．（2）由
，知，由此利用错位相减法能证明：Tn＜2，（n∈N+）．解答：解：（1）∵二次方程
，n∈N+有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a1=1．
∴
，∴
，n∈N+，且∴
是以为首项，公比为的等比数列．∴
，故
．（2）∵
，，n∈N+，∴，Tn=1×
+2×（）2+3×（）3+…+n×（）n，=1×（）2+2×（）3+3×（）4+…+n×（）n+1，两式相减，得
=+（）2+（）3+…+（）n-n×（）n+1=1-（
）n-n•（）n+1，∴Tn=2-
-n•＜2．点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的证明，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
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是等比数列；
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