Question

20．已知函数f（x）=|x²-x|-ax．
（1）当a=$\frac{1}{3}$时，求方程f（x）=0的根；
（2）当a≤-1时，求函数f（x）在[-2，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据解方程的方法解方程即可
（2）先化为分段函数，在分类讨论，根据函数的单调性求出最值

解答 解：（1）f（x）=|x²-x|-ax=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+1）x，x≤0或x≥1}\\{-{x}^{2}+（1-a）x，0＜x＜1}\end{array}\right.$
当a=$\frac{1}{3}$时，当x≤0或x≥1时，x²-$\frac{4}{3}$x=0，解得x=0，或x=$\frac{4}{3}$，
当0＜x＜1时，-x²+$\frac{2}{3}$x=0，解得x=$\frac{2}{3}$，
综上所述方程的根为0，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，
（2）当a≤-1时，函数y=-x²+（1-a）x的对称轴x=$\frac{1-a}{2}$≥1，所以函数f（x）在（0，1）上为增函数，结合函数y=x²-（a+1）x的对称轴x=$\frac{a+1}{2}$≤0，可知函数f（x）在（-∞，$\frac{a+1}{2}$]上为减函数，在[$\frac{a+1}{2}$，+∞）上为增函数．
（1）当$\frac{a+1}{2}$≤-2，即a≤-5时，
函数f（x）在[-2，3]上是单调递增函数，f（x）的最小值为f（-2）=2a+6，
（2）当$\left\{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{\frac{a+1}{2}＞2}\end{array}\right.$，即-5＜a≤1时，
函数f（x）在[-2，$\frac{a+1}{2}$]上单调递减，在[$\frac{a+1}{2}$，3]上单调递增，
f（x）的最小值为f（$\frac{a+1}{2}$）=-$\frac{（a+1）^{2}}{4}$
综上所述，函数f（x）的最小值[f（x）]_min=$\left\{\begin{array}{l}{2a+6，a≤-5}\\{-\frac{（a+1）^{2}}{4}，-5＜a≤-1}\end{array}\right.$

点评 本题考查函数的单调性以及最值问题，培养了学生的分类讨论的思想，属于中档题