Question

10．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}}$）=m（m∈R），以极点为原点极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数，且α∈[0，π]）．
（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）若直线l与曲线C有两个公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据极坐标方程求出直角坐标方程和普通方程即可；（2）根据三角函数的性质求出m的范围即可．

解答 解：（1）由直线l的极坐标方程得：$\sqrt{2}ρ（{sinθcos\frac{π}{4}-cosθsin\frac{π}{4}}）=m$，
即直线l的直角坐标方程为：y-x=m，
由曲线C的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α$为参数，且α∈[0，π]）．
得：${（{\frac{x}{{\sqrt{3}}}}）^2}+{y^2}=\frac{x^2}{3}+{y^2}=1，y∈[{0，1}]$
（2）设曲线C上任意一点为$（{\sqrt{3}cosα，sinα}）$，
则$m=sinα-\sqrt{3}cosα=2sin（{α-\frac{π}{3}}），α∈[{0，π}]$，
∴-$\frac{π}{3}$≤α-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
画出y=2sin（α-$\frac{π}{3}$）的图象，如图示：
，
α=$\frac{2}{3}$π时，y=2sin$\frac{2}{3}$π=$\sqrt{3}$，
∵直线l与曲线C有两个公共点，结合图象，
∴$m∈[{\sqrt{3}，2}）$．

点评 本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查三角函数的性质，考查计算能力，是一道中档题．