Question

12．设等差数列{a_n}满足：公差d∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的一项，若a₁=9．则d的所有可能取值为1，3，9．

Answer 1

分析 设a_p，a_q为等差数列{a_n}中的任意两项，依题意a_k=a_p+a_q，利用等差数列的通项公式可得d=$\frac{9}{k+1-p-q}$．
由k，p，q均为正整数，公差d∈N^*，利用9的公约数即可得出．

解答 解：设a_p，a_q为等差数列{a_n}中的任意两项，依题意a_k=a_p+a_q，
即2a₁+（p+q-2）d=a₁+（k-1）d，
∴d=$\frac{{a}_{1}}{k+1-p-q}$=$\frac{9}{k+1-p-q}$．
∵k，p，q均为正整数，公差d∈N^*，
∴k+1-p-q=1，3，9，
因此d的所有可能取值为1，3，9．
故答案为：1，3，9．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、整除理论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．