Question

已知双曲线x²-y²=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点C的坐标是（1，0）。
（1）证明·为常数；
（2）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程。

Answer 1

解：由条件知，设，
（1）当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为，，
此时
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是
代入，有
则是上述方程的两个实根，
所以，，
于是




综上所述，为常数-1。
（2）设，则，，，，
由得：
即
于是的中点坐标为
当AB不与x轴垂直时，，即
又因为A，B两点在双曲线上，
所以，，两式相减得，
，
即
将代入上式，化简得
当AB与x轴垂直时，，求得，也满足上述方程
所以点M的轨迹方程是。