题目内容
已知双曲线x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A、B,双曲线在第一象限的图象上有一点P,∠PAB=α,∠PBA=β,∠APB=γ,则( )
A、tanα+tanβ+tanγ=0 | B、tanα+tanβ-tanγ=0 | C、tanα+tanβ+2tanγ=0 | D、tanα+tanβ-2tanγ=0 |
分析:A(-a,0),B(a,0),P(x,y),tanα=
,-tanβ=
,由x2-y2=a2得
=1,所以-tanαtanβ=1,tanγ=-tan(α+β)=-
=-
(tanα+tanβ),故tanα+tanβ+2tanγ=0.
y |
x+a |
y |
x-a |
y2 |
x2-a2 |
tanα+tanβ |
1-tanαtanβ |
1 |
2 |
解答:解:A(-a,0),B(a,0),P(x,y),
PA的斜率tanα=
,①
PB的斜率-tanβ=
,∴tanβ=-
,②
由x2-y2=a2得
=1,
①×②,得-tanαtanβ=1,
tanγ=tan[π-(β+α)]=-tan(α+β)=-
=-
(tanα+tanβ),
∴tanα+tanβ+2tanγ=0.
故选C.
PA的斜率tanα=
y |
x+a |
PB的斜率-tanβ=
y |
x-a |
y |
x-a |
由x2-y2=a2得
y2 |
x2-a2 |
①×②,得-tanαtanβ=1,
tanγ=tan[π-(β+α)]=-tan(α+β)=-
tanα+tanβ |
1-tanαtanβ |
1 |
2 |
∴tanα+tanβ+2tanγ=0.
故选C.
点评:本题考查双曲线的性质和应用,解题时要注意三角函数的合理运用.
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