题目内容

已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点.若动点M满足
F1M
=
F1A
+
F1B
+
F1O
(其中O为坐标原点),求点M的轨迹方程;
分析:由题意知F1(-2,0),F2(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则
F1M
=(x+2,y)
F1A
=(x1+2,y1)
,,
F1O
=(2,0)
,由
F1M
=
F1A
+
F1B
+
F1O
x1+x2=x-4
y1+y2=y
,AB的中点坐标(
x-4
2
y
2
)
.当AB不垂直于x轴时
y1-y2
x1-x2
=
y
2
x-y
2
-2
=
y
x-8
,由A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线x2-y2=2上,知(x1-x2)(x-4)=(y1-y2)y,由此可知点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4.
解答:解:由题意知F1(-2,0),F2(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),
F1M
=(x+2,y)
F1A
=(x1+2,y1)
F1B
=(x2+2,y2)
F1O
=(2,0)

F1M
=
F1A
+
F1B
+
F1O
x1+x2=x-4
y1+y2=y

∴AB的中点坐标(
x-4
2
y
2
)

当AB不垂直于x轴时,
y1-y2
x1-x2
=
y
2
x-y
2
-2
=
y
x-8
,①
∵A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线x2-y2=2上,
∴x12-y12=2,x22-y22=2,
∴(x1-x2)(x-4)=(y1-y2)y,②
由①②联立,知(x-6)2-y2=4.
当AB垂直于x轴时,x1=x2=2,求得M(8,0)也满足上求方程,
∴点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4.
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.
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