题目内容
已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点.若动点M满足F1M |
F1A |
F1B |
F1O |
分析:由题意知F1(-2,0),F2(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则
=(x+2,y),
=(x1+2,y1),,
=(2,0),由
=
+
+
得
,AB的中点坐标(
,
).当AB不垂直于x轴时
=
=
,由A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线x2-y2=2上,知(x1-x2)(x-4)=(y1-y2)y,由此可知点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4.
F1M |
F1A |
F1O |
F1M |
F1A |
F1B |
F1O |
|
x-4 |
2 |
y |
2 |
y1-y2 |
x1-x2 |
| ||
|
y |
x-8 |
解答:解:由题意知F1(-2,0),F2(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),
则
=(x+2,y),
=(x1+2,y1),
=(x2+2,y2),
=(2,0),
由
=
+
+
得
,
∴AB的中点坐标(
,
).
当AB不垂直于x轴时,
=
=
,①
∵A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线x2-y2=2上,
∴x12-y12=2,x22-y22=2,
∴(x1-x2)(x-4)=(y1-y2)y,②
由①②联立,知(x-6)2-y2=4.
当AB垂直于x轴时,x1=x2=2,求得M(8,0)也满足上求方程,
∴点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4.
则
F1M |
F1A |
F1B |
F1O |
由
F1M |
F1A |
F1B |
F1O |
|
∴AB的中点坐标(
x-4 |
2 |
y |
2 |
当AB不垂直于x轴时,
y1-y2 |
x1-x2 |
| ||
|
y |
x-8 |
∵A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线x2-y2=2上,
∴x12-y12=2,x22-y22=2,
∴(x1-x2)(x-4)=(y1-y2)y,②
由①②联立,知(x-6)2-y2=4.
当AB垂直于x轴时,x1=x2=2,求得M(8,0)也满足上求方程,
∴点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4.
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.
练习册系列答案
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已知双曲线x2-y2=a2(a>0)的左、右顶点分别为A、B,双曲线在第一象限的图象上有一点P,∠PAB=α,∠PBA=β,∠APB=γ,则( )
A、tanα+tanβ+tanγ=0 | B、tanα+tanβ-tanγ=0 | C、tanα+tanβ+2tanγ=0 | D、tanα+tanβ-2tanγ=0 |