Question

【题目】若x∈[1，+∞）时，关于x的不等式 ≤λ（x﹣1）恒成立，则实数λ的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】[ ,+∞）
【解析】解：x∈[1，+∞）时， ≤λ（x﹣1）xlnx﹣λ（x2﹣1）≤0，

设函数f（x）=xlnx﹣λ（x2﹣1），从而对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤0=f（1）恒成立，

又f′（x）=lnx+1﹣2λx．

①当f′（x）=lnx+1﹣2λx≤0，即 时，函数f（x）单调递减，设g（x）= ，则g′（x）= ，g（x）max=g（1）=1，

即1≤2λ，∴ ，符合题意；

②当λ≤0时，f′（x）=lnx+1﹣2λx≥0恒成立，此时f（x）单调递增，于是不等式f（x）≥f（1）=0对任意x∈[1，+∞）恒成立，不符合题意；

③当0＜λ＜ 时，设h（x）=f′（x）=lnx+1﹣2λx，则h′（x）= ，可得x= ＞1．

当x∈（1， ）时，h′（x）= ＞0，此时h（x）=f′（x）=lnx+1﹣2λx单调递增，∴f′（x）=lnx+1﹣2λx＞f′（1）=1﹣2λ＞0，

故当x∈（1， ）时，函数f（x）单调递增，于是，当x∈（1， ）时，f（x）＞0恒成立，不符合题意．

综上所述，实数λ的取值范围为[ ，+∞）．

所以答案是：[ ，+∞）．