题目内容

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , a1=1,an+1=λSn+1(n∈N*,λ≠﹣1),且a1、2a2、a3+3成等差数列.
(1)求证:数列{an}为等比数列;
(2)设bn=2an﹣1,求数列{bn}的前n项和Tn

【答案】
(1)证明:∵an+1=λSn+1(n∈N*),∴an=λSn1+1(n≥2),

∴an+1﹣an=λan,即an+1=(λ+1)an(n≥2),λ+1≠0,

又a1=1,a2=λS1+1=λ+1,

∴数列{an}是以1为首项,公比为λ+1的等比数列


(2)解:∵ ,且a1、2a2、a3+3成等差数列.

∴4(λ+1)=1+(λ+1)2+3,整理得λ2﹣2λ+1=0,得λ=1,

,= =2n+1﹣2﹣n.


【解析】(1)an+1=λSn+1(n∈N*),可得an=λSn1+1(n≥2),相减可得:an+1=(λ+1)an(n≥2),λ+1≠0,利用等比数列的通项公式即可得出.(2)由 ,且a1、2a2、a3+3成等差数列.可得4(λ+1)=1+(λ+1)2+3,解得λ=1,可得an,进而得到bn.再利用等比数列的求和公式即可得出.
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.

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