题目内容
【题目】已知函数f（x）=xe2x﹣lnx﹣ax．
（1）当a=0时，求函数f（x）在[ 
，1]上的最小值；
（2）若x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；
（3）若x＞0，不等式f（ 
）﹣1≥ e 
+ 
恒成立，求a的取值范围．
【答案】
（1）解：a=0时，f（x）=xe2x﹣lnx，
∴ 
， 
，
∴函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，
又函数f′（x）的值域为R，
故x0＞0，使得f′（x0）=（2x0+1）e 
﹣ 
=0，
又∵ 
，∴ 
，∴当x∈[ 
]时，f′（x）＞0，
即函数f（x）在区间[ 
，1]上递增，∴ 
（2）解： 
，
由（1）知函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，且x0＞0，使得f′（x0）=0，
进而函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，
﹣lnx0﹣ax0，
由f′（x0）=0，得：（2x0+1）e ﹣ ﹣a=0，
∴ 
，∴f（x0）=1﹣lnx0﹣2x02 
，
∵x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，
∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1，∴lnx0+2x02 ≤0，
设h（x0）=lnx0+2x 
e ，则h（x0）为增函数，且有唯一零点，设为t，
则h（t）=lnt+2t2e2t=0，则﹣lnt=2t2e2t，即 
，
令g（x）=xex，则g（x）单调递增，且g（2t）=g（ 
），
则2t=ln 
，即 
，
∵a=（2x0+1） ﹣ 在（0，t]为增函数，
则当x0=t时，a有最大值， 
= 
，
∴a≤2，∴a的取值范围是（﹣∞，2]
（3）解：由f（ 
）﹣1≥ 
，
得 
，
∴xlnx﹣x﹣a≥ 
，∴a 
对任意x＞0成立，
令函数g（x）=xlnx﹣x﹣ ，∴ 
，
当x＞1时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，
∴当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=﹣1﹣ 
=﹣1﹣ 
，
∴a≤﹣1﹣ ．
∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1﹣ ）
【解析】（1）a=0时， ， ，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[ ，1]上的最小值．
（2） ，函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，由x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，得lnx0+2x02 ≤0，由此能求出a的取值范围．
（3）由f（ ）﹣1≥ ，得a 对任意x＞0成立，令函数g（x）=xlnx﹣x﹣ 
，则 ，由此利用导数性质能求出a的取值范围．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间
内，(1)如果
，那么函数
在这个区间单调递增；(2)如果
，那么函数
在这个区间单调递减；求函数在
上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值
，
比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．
