题目内容

【题目】在△ABC中,A(﹣1,0),B(1,0),若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G.H不重合),
(I)求动点C的轨迹Γ的方程;
(II)已知O为坐标原点,若直线AC与以O为圆心,以|OH|为半径的圆相切,求此时直线AC的方程.

【答案】解:(Ⅰ)由题意可设C(x,y),则G( ),H(x ).

=(x﹣1, ), =(x+1,y),

∵H为垂心,∴ =x2﹣1+ =0,整理可得x2+ =1,

即动点C的轨迹Г的方程为x2+ =1(xy≠0);

(Ⅱ)显然直线AC的斜率存在,设方程AC为y=k(x+1),C(x0y0).

将y=k(x+1)代入x2+ =1得(3+k2x2+2k2x+k2﹣3=0,

解得x0= y0= ,则H( ).

原点O到直线AC的距离d=

依题意可得

即7k4+2k2﹣9=0,解得k2=1,即k=1或﹣1,

故所求直线AC的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1


【解析】(Ⅰ)由题意可设C(x,y),则G( ),H(x ),求出 的坐标,再由 =0整理得答案;(Ⅱ)设方程AC为y=k(x+1),C(x0y0).联立直线方程和椭圆方程,求出H的坐标,由点到直线的距离公式求得原点O到直线AC的距离,结合题意得到关于k的等式,求出k值后可得直线AC的方程.

练习册系列答案
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年龄

频数

频率

[0,10)

10

0.1

5

5

[10,20)

[20,30)

25

0.25

12

13

[30,40)

20

0.2

10

10

[40,50)

10

0.1

6

4

[50,60)

10

0.1

3

7

[60,70)

5

0.05

1

4

[70,80)

3

0.03

1

2

[80,90)

2

0.02

0

2

合计

100

1.00

45

55


(1)完成表格一中的空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数.
(2)完成表格二,并问你能否有97.5%的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关?

50岁以上

50岁以下

合计

男生

女生

合计


(3)按分层抽样(分50岁以上与50以下两层)抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上(含)的人数为ξ,求ξ的分布列 (表二)

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式:k2= ,其中n=a+b+c+d)

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