Question

【题目】已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，设点，在中， ，周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设不经过点的直线与椭圆相交于、两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；

（3）记第（2）问所求的定点为，点为椭圆上的一个动点，试根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）过定点；（3）见解析.

【解析】试题分析：(1)由题意布列关于的方程组，从而得到椭圆方程；(2) 设直线方程： ，联立方程可得： ，利用根与系数的关系及，得到过定点.（3）设直线与椭圆相切， ，两切线到的距离分别为，根据面积的不同取值范围，讨论存在的个数.

试题解析：

（1）由得： ，所以………①

又周长为，所以………②

解①②方程组，得

所以椭圆方程为

（2）设直线方程： ，交点

依题： 即：

过定点.

（3），

设直线与椭圆相切，

得两切线到的距离分别为

当时， 个数为0个

当时， 个数为1个

当时， 个数为2个

当时， 个数为3个

当时， 个数为4个