Question

【题目】如图所示，四棱锥的侧面底面，底面是直角梯形，且, , 是中点.

（1）求证： 平面；

（2）若，求直线与平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）取的中点，连结，易得， ，从而得平面，只需证得即可；

（2）设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，可证得平面，故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用即可得解.

试题解析：

（1）证明：取的中点，连结，如图所示．

因为，所以．

因为侧面, 且,

所以平面，又平面，所以．

又因为，所以平面．

因为点是中点，所以，且．

又因为，且，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，所以平面．

（2）设点O，G分别为AD，BC的中点，连结，则，

因为平面， 平面，

所以，所以．

因为，由（Ⅰ）知，

又因为，所以，

所以

所以为正三角形，所以，

因为平面， 平面，所以．

又因为，所以平面．

故两两垂直，可以点O为原点，分别以的方向为轴的正方向，

建立空间直角坐标系，如图所示．

， ， ，

所以， ， ，

设平面的法向量，

则所以取，则，

设与平面所成的角为，则，

因为，所以，所以与平面所成角的大小为．