Question

11．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜0）．
（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；
（3）若f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上是单调递增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；
（2）根据函数图象平移法则，写出f（x）左移m个单位后的函数解析式，根据函数y是偶函数，求出m的最小正数；
（3）根据f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上是单调递增函数，得出-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{3}$ω+φ≤$\frac{π}{2}$，求出ω≤$\frac{3}{2}$-$\frac{3φ}{π}$，再根据φ的取值范围求出ω的最大值．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，\
A=3，$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{4}$，
∴T=π，ω=$\frac{2π}{T}$=2；
根据五点法画图知，2×$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，
解得φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$），函数f（x）的图象向左平移m个单位后，
所对应的函数是y=3sin[2（x+m）-$\frac{π}{6}$]=3sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$）的图象，
又函数y是偶函数，
∴2m-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得m=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴m的最小正数是$\frac{π}{3}$；
（3）f（x）=Asin（ωx+φ）在[0，$\frac{π}{3}$]上是单调递增函数，
A＞0，ω＞0，
∴-$\frac{π}{2}$≤φ≤$\frac{π}{3}$ω+φ≤$\frac{π}{2}$，
解得ω≤$\frac{3}{2}$-$\frac{3φ}{π}$；
又-π＜φ＜0，
∴-$\frac{π}{2}$≤φ＜0，
∴0＜-$\frac{3φ}{π}$≤$\frac{3}{2}$，
∴ω≤$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=3，
即ω的最大值为3．

点评 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是综合题．