Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|lo{g}_{3}x|，0＜x＜3\\ sin\frac{π}{3}x，3≤x≤9\end{array}\right.$，若存在实数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则$\frac{（c-3）（d-3）}{ab}$的取值范围是（18，$\frac{81}{4}$）．

Answer 1

分析 根据已知中函数的解析式，可得ab=1，c+d=15，c∈（6，$\frac{15}{2}$），结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|lo{g}_{3}x|，0＜x＜3\\ sin\frac{π}{3}x，3≤x≤9\end{array}\right.$的图象如下图所示，

∵实数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），
则log₃a+log₃b=0，且c，d关于直线x=$\frac{15}{2}$对称，
∴ab=1，c+d=15，c∈（6，$\frac{15}{2}$），
则$\frac{（c-3）（d-3）}{ab}$=（c-3）（d-3）=（c-3）（15-c-3）=-c²+15-36=$-（c-\frac{15}{2}）^{2}+\frac{81}{4}$∈（18，$\frac{81}{4}$），
故答案为：（18，$\frac{81}{4}$）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，难度中档．