Question

在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，
（Ⅰ）若A、B、C成等差数列，且a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形；
（Ⅱ）若cosA、cosB、cosC成等比数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角形的形状判断

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）通过A、B、C成等差数列，且a、b、c成等比数列，结合正弦定理以及余弦定理即可证明△ABC为等边三角形；
（Ⅱ）利用cosA、cosB、cosC成等比数列，a、b、c成等比数列，通过正弦定理以及余弦定理即可证明△ABC为等边三角形．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，若A、B、C成等差数列，则2B=A+C，又A+B+C=π
所以B=

π

3

…（2分）
因为a、b、c成等比数列，所以b²=ac…（4分）
故由a²+c²-2accosB=b²有a²+c²-2ac=0，所以a=c…（6分）
所以△ABC为等边三角形…（7分）
（Ⅱ）在△ABC中，因为cosA、cosB、cosC成等比数列
所以cos²B=cosA•cosC…（8分）
因为a、b、c成等比数列，所以b²=ac
由正弦定理有sin²B=sinA•sinC…（10分）
所以cosA•cosC+sinA•sinC=1即cos（A-C）=1…（11分）
所以A=C…（12分）
所以a=c，且b²=ac，所以a=c=b…（13分）
故△ABC为等边三角形…（14分）

点评：本题考查三角形的形状的判断与证明，正弦定理以及余弦定理，数列的基本知识的应用，考查计算能力．